Lyapunov-Diagramme








Benutzung des Applets:

Start
Berechnung eines Lyapunov-Diagramms mit den gewählten Parametern
Iterationen
Anzahl der Iterationen zur Berechnung des Lyapunov-Exponenten
Sequenz
Hier können verschiedene Sequenzen eingegeben werden.
Ein Punkt des Bildes hat die Koordinaten (a,b). Je nach Abfolge der Sequenz wird bei einem Iterationsschritt entweder r=a oder r=b in die Iterationsvorschrift eingesetzt.
Beispiel mit Sequenz=aba :
1. Iteration: r=a
2. Iteration: r=b
3. Iteration: r=a
4. Iteration: r=a
usw.
Parameter
zusätzlicher Parameter der jeweiligen Funktion
Funktion
Auswahl der zu iterierenden Funktion  (r=Sequenz, p=Parameter)
0:  xn+1 = p Sin4(xn -r)
1:  xn+1 = r xn(1- p x n)
2:  xn+1 = r Exp( -(xn-p)2 )
3:  xn+1 = p Sin2(xn -r)
klick ins Bild
Neuberechnung mit vordefinierten Bildausschnitten
klicken und ziehen
Zoomt in das Bild hinein



Erklärung:

Es werden hier Iterationsvorschriften  xn+1 = f( xn, r ) betrachtet, wobei der Parameter r bei jedem Iterationsschritt durch eine vorgegebene Sequenz variiert wird. Jeder Punkt des Diagramms entspricht einem Parameterpaar r=(a,b). Aus der Folge der iterierten Punkte xn kann nun der sogenannte Lyapunov-Exponent berechnet werden. Dieser gibt an, ob die Punktfolge periodisches oder chaotisches Verhalten zeigt. Ist die Folge chaotisch, ist der Exponent größer als null, der Punkt wird grau eingefärbt. Bei periodischem Verhalten hingegen ist der Exponent kleiner als null; die verwendete Farbpalette ist grün.  Die Farbschattierungen geben dabei die jeweilige Amplitude des Exponenten an, d.h. weiß entspricht einer stark chaotischen Trajektorie.
Das Diagramm ist also sozusagen eine Landkarte, anhand der das dynamische Verhalten von Iterationsgleichungen betrachtet werden kann.